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  1. Rente des Konsumenten

    2. Die Rente des Konsumenten beschreibt die wertmäßige Differenz zwischen der maximalen Zahlungsbereitschaft des Konsumenten und dem Marktpreis. Diese Definition ist als Marshalls Definition bekannt. Je größer die Rente des Konsumenten, desto größer der Nutzen für den Konsumenten. Dies soll an einem Beispiel erklärt werden.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Unter der Annahme von konstantem Nominaleinkommen und konstanten Preisen der anderen Güter gehen wir von einem Höchstpreis (= höchster Preis, den der Konsument gewillt ist, zu zahlen, der Vorbehaltspreis) für das betrachtete Gut von $10 aus. Der Preis wird nun auf $8 reduziert. Bei diesem Preis kauft der Konsument genau eine Einheit des Gutes. Die Rente des Konsumenten für dieses erste Gut beträgt $(10-8) = $2. Der Preis wird nun weiter auf $6 gesenkt. Der Konsument wird nun eine zweite Einheit kaufen. Für diese zweite Einheit ist der Konsument aber nicht mehr gewillt $10 zu zahlen, sondern nur mehr $7 (= Vorbehaltspreis für die zweite Einheit). Die gesamte Rente des Konsumenten beträgt nun $5. Sie setzt sich aus einer Rente von $4 (10-6) für die erste Einheit und $1 (7-6) für die zweite Einheit zusammen. Für den Fall, daß das Gut in kontinuierlichen Mengen vorliegt, kann die Rente des Konsumenten graphisch als die Fläche zwischen der Preislinie und der Nachfragekurve gesehen werden. (siehe Abbildung 1) In der Literatur wird diese Fläche als "Marshalls

    Dreieck" bezeichnet. Die schattierte Fläche repräsentiert die Rente des Konsumenten bei einem Marktpreis von $6. Absolut hat sie eine Größe von $7,5 (Basis 2,5 / Höhe 6 à 2,5 × 6 / 2). Klarerweise wirkt sich eine Erhöhung des Marktpreises negativ auf die Höhe die Rente des Konsumenten aus. Abbildung 2 soll die Herleitung der Rente des Konsumenten noch veranschaulichen. Die Graphik zeigt durch Rechtecke dargestellt den Wert der einzelnen Einheiten. Reduziert man die Summe dieser Einzelwerte um die Fläche unter einem bestimmten Preis erhält man wiederum die Rente des Konsumenten. Unterstellen wir eine vollkommene Teilbarkeit (= der horizontale Abschnitt der Teilwerte geht gegen Null) verwandelt sich diese Treppenkurve in eine kontinuierliche Nachfragefunktion. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung kann also abschließend die Rente des Konsumenten als

    geschrieben werden, wobei f(x) die Nachfragefunktion darstellt.

     

  2. Substitutions- und Einkommenseffekt

    3. Diese beiden Effekte beziehen sich auf eine Preisänderung und darauf resultierende Effekte. Wenn der Preis eines Gutes niedriger wird, so bedeutet das, daß man mit dem gegebenen Einkommen mehr von diesem Gut kaufen kann. Diese Nachfrageänderung aufgrund der Änderung des Preises und der daraus resultierenden Änderung des Tauschverhältnisses zu einem anderen Gut heißt Substitutionseffekt. Er zeigt an, wie der Konsument ein Gut für ein anderes "substituiert", wenn sich ein Preis ändert, aber die Kaufkraft gleich bleibt. Der Einkommenseffekt ergibt sich aus der Nachfrageänderung aufgrund gestiegender Kaufkraft.

     

     

     

     

  3. Normale Nachfragekurven (Marshall’sche Nachfragekurven)

Diese Nachfragekurven enhalten beide vorher genannten Effekte, d. h. sowohl den Substitutionseffekt als auch den Einkommenseffekt. Sie können aus der Nutzenfunktion unter zuhilfenahme der Lagrangefunktion berechnet werden. Die Berechnung soll an einem Zwei-Güter-Fall gezeigt werden..

 

  1. Nutzenfunktion: U = x . y

    2. Einkommensrestriktion: E = px . x + py . y

  2. Ableiten der Lagrangefunktion:
    L = x . y + l (E - px . x - py . y)
  1. Partielle Ableitung

 

 

 

aus den beiden ersten partiellen Ableitungen folgt

 

(4a) py . y = px . x

Setzt man in die dritte partielle Ableitung nach l px .x für py .y ein, erhält man

 

  1. E - 2 px . x = 0

 

(6) und (7) sind die "Allgemeinen Nachfragefunktionen" für x und y. Werden das Einkommen E und die Preise der anderen Güter als konstant angenommen erhält man die "Speziellen Nachfragefunktionen"

 

 

  1. Kompensierte Nachfragekurven ( Hick’sche Nachfragekurven)

  2. Hier stellt man sich die Frage, welche Mengen eines Gutes ein Haushalt bei alternativen Preisen nachfragt, wenn der mit einer Preisänderung verbundene Einkommenseffekt durch eine kompensierende Einkommensvariation ausgeschaltet wird. Bei der kompensierten Nachfragefunktion ist dadurch bei alternativen Preisen das Nutzenniveau konstant. Abbildung 2 soll die graphische Herleitung dieser Nachfragekurve verdeutlichen. Wie schon erwähnt wurde, enhält die Marshall’sche Nachfragekurve neben dem Substitutionseffekt auch einen Einkommenseffekt, der sich dadurch ergibt, da sich durch Preisänderungen das Realeinkommen (bei Konstanz des Nominaleinkommens) ändert. In Abbildung 3 soll die kompensierte Nachfragekurve aus den Indifferenzkurven abgeleitet werden. In der Ausgangssituation befindet sich das Haushaltsoptimum bei A. Eine Preissenkung von px0 auf px1 zum neuen Haushaltsoptimum B (bei Konstanz des Nominaleinkommens). Die nachgefragte Menge steigt von x0 auf x1. Durch eine kompensierende Einkommensvariation kann der Haushalt auf der ursprünglichen Indifferenzkurve U0 bleiben. Das neue Haushaltsoptimum befindet sich hier bei C. Bei der unteren Abbildung werden die Daten der oberen Abbildung verwendet um die resultierenden Nachfragekurven darzustellen. Abbildung 4 stellt nocheinmal das Ausgangsoptimum A und den Zielwert C dar. Im Punkt C verläuft die Budgetgerade aufgrund des gesunkenen Preises des x-Gutes flacher.

     

    In einem nächsten Schritt soll nun die kompensierte Nachfragekurve algebraisch hergeleitet werden. Der Haushalt wird bei alternativen Preisen jene Mengen der Güter x und y kaufen, die es ihm erlauben, das gegebene Nutzenniveau mit minimalen Ausgaben zu erreichen. Die nachgefragten kompensierten Mengen können gefunden werden, indem das Minimum der Ausgaben unter der Nebenbedingung, daß der Nutzen U(x,y) gleich einer gegebenen Größe U ist, gesucht wird.

     

    L = px . x + py . y + l (U - xy)

     

    bilden der partiellen Ableitungen:

     

     

    Lx = px - l y = 0

     

    Ly = py - l x = 0

     

     

     

    Wird dieser Term für y in die partielle Ableitung für l eingesetzt und nach x aufgelöst (gleiches gilt für y) erhält man die beiden kompensierten Nachfragefunktionen:

     

     

     

     

     

     

     

  3. Indirekte Nutzenfunktion und Ausgabenfunktion

    4. Es sollen nun anschließend diese beiden Funktionen hergeleitet werden.

    1. Indirekte Nutzenfunktion

      2. Definitionsgemäß hängt der maximale Nutzen von den Preisen und dem Einkommen ab. Setzt man in die "normale" (= direkte) Nutzenfunktion die optimalen Gütermengen ein und stellt diesen maximalen Nutzen als Funktion der Preise und des Einkommens dar, so erhält man die sogenannte "indirekte Nutzenfunktion". Am Beispiel ergibt sich bei den beiden Marshall’schen Nachfragefunktionen

       

       

       

       

      und anschließendem Einsetzen in die direkte Nutzenfunktion

       

       

      Es kann damit der maximal erreichbare Nutzen bei gegebenen Preisen und Einkommen berechnet werden.

    2. Ausgabenfunktion

      3. Wird die indirekte Nutzenfunktion nach dem Einkommen aufgelöst erhält man die sogenannte "Ausgabenfunktion". Sie gibt das minimale Einkommen (bzw. die minimalen Ausgaben) bei gegebenen Preisen an, um ein bestimmtes Nutzenniveau zu erreichen. Am Beispiel ergibt sich für die Ausgabenfunktion

       

       

      Im nächsten Schritt soll die kompensierte Nachfragefunktion von der Ausgabenfunktion abgeleitet werden.

       

    3. Ableitung der kompensierten Nachfragefunktion von der Ausga-
      benfunktion

    Wir bedienen uns bei der Herleitung der kompensierten Nachfragefunktion der 1. Ableitung der Ausgabenfunktion. Sie gibt die zusätzlichen Ausgaben an, die notwendig sind, damit der Haushalt nach einer (sehr) kleinen Preisänderung sein altes Nutzenni-
    veau beibehalten kann.
    Es gilt

     

     

    wobei x = x(px, py, U) nichts anderes als die kompensierte Nachfragefunktion für Gut x darstellt. In der Literatur ist dieser Zusammenhang als Shephards Lemma bekannt. Am Beispiel ergibt sich:

     

     

     

     

    Dieser abschlielßende Term stimmt mit dem vorherigen Ergebnis für die kompensierte Nachfrage überein.

     

     

  4. Kompensierende und äquivalente Einkommensvariation

    5. Zuerst sollen die beiden Maße erklärt werden

    1. Kompensierende Variation

      2.  

      Die kompensierende Einkommensvariation (KV) wurde bereits erwähnt. Sie gibt jenen maximalen (minimalen) Geldwert an, der dem Haushalt genommen bzw. gezahlt werden muß, damit er nach einer
      Preisänderung beim Ausgangsnutzenniveau verbleiben kann. Abbildung 5 soll die graphische Ableitung der kompensatorischen Variation darstellen. In der oberen Abbildung wird der Preis für das erste Gut reduziert für das andere Gut beibehalten. Vorerst erhöht sich die Nachfrage nach x von auf . Wird aber das Einkommen so reduziert, daß der Haushalt beim Initialnutzen (U1) verbleibt, steigt die Nachfrage nur von auf . Die beiden Nachfragekurven in der unteren Abbildung schneiden sich beim Ausgangspreis, da die gleiche Budgetgerade zur Erreichung von verwendet wird. Außerdem verläuft die kompensatorische Nachfragekurve steiler. Dies ist, weil bei dieser Nachfragekurve der positive Einkommenseffekt durch die kompensatorische Variation eliminiert wurde.

       

       

       

       

       

    2. Äquivalente Variation

      3. Die Ableitung der äquivalenten Variation (EV) wird in Abbildung 6 gezeigt. Fällt der Preis für Gut 1 steigt der Nutzen des Haushaltes wie in der Graphik von U1 auf U2. Wenn anstatt der Preissenkung dem Haushalt ein Geldbetrag in Höhe der äquivalenten Variation gegeben wird, kann er ebenfalls das Nutzenniveau U2 erreichen. Die äquivalente Variation ist damit jener Geldbetrag, der dem Hauhalt gegeben werden muß, damit er auf jenes Nutzenniveau kommt, das durch eine Preissenkung gegeben wäre.

       

    3. Ableitung der beiden Variationen aus der Ausgabenfunktion

 

Unter Zuhilfenahme der Definition der kompensierte Variation kann die selbe mit Ausgabenfunktionen umschrieben werden. Die kompensierende Variation muß die Differenz zwischen den notwendigen Ausgaben bei Initialpreisen und den Ausgaben bei den neuen Preisen sein, d. h.

 

 

Diese Differenz stellt den Betrag dar, der dem Haushalt gezahlt bzw. genommen werden muß, damit er das alte Nutzenniveau U0 erreichen kann. Mit Hilfe der Integralrechnung kann dieser Zusammenhang auch anders geschrieben werden:

 

 

 

Der Ausdruck hinter dem Integral entspricht, gemäß Shepards Lemma der kompensierenden Nachfragefunktion. In Abbildung 7 wird dieses Integral als Fläche links von der kompensierten Nachfragefunktion zwischen dem Initialpreis und dem neuen Preis dargestellt.

Auf ähnliche Weise kann auch die äquivalente Variation berechnet werden. Der einzige Unterschied zur kompensierten Variation ist das Nutzenniveau, das durch die Variation erreicht werden soll. Im Falle der äquivalenten Variation ist es das neue Nutzenniveau U1 nach der Preisänderung. Es kann deshalt geschrieben werden:

 

 

oder wiederum als Integral dargestellt

 

 

 

Das Integral bezieht auf die kompensierte Nachfragefunktion, die aus dem neuen Nutzenniveau U1 abgeleitet wird.

 

Abbildung 8 soll die beiden Variationsmaße nocheinmal zusammen darstellen. Es werden beide kompensierten Nachfragefunktionen bei Initialnutzen und neuem Nutzen dargestellt. Bei einem Sinken der Preise ergibt sich eine kompensierte Variation in der Größe der Fläche a und eine äquivalente Variation in der Größe der Fläche a + b + c.